Gegeben sei die DZGL (modifizierte Fibonacci Folge )
f(k+1)=p*f(k)+q*f(k-1), f(0)=f(1)=1
Wie lautet der Grenzwert g=limit n=infinity f(n+1)/f(n) ?
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Jan.2010
Die Aufgabe laesst sich am schnellsten ueber eine Substitution loesen s(k+1)=f(k+1)/f(k)
f(k+1)=p*f(k)+q*f(k-1) (auf beiden Seiten durch f(k) teilen)
f(k+1)/f(k)=p+q*f(k-1)/f(k)
s(k+1)=p+q*1/s(k)

=>Der Grenzwert entspricht den Iterationswerten der DZGL:

s[k+1]=p+q/s[k]

Berechnen des Attraktors, Grenzwertes von s[k+1]=p+q/s[k]
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Dazu betrachtet man den invarianten Punkt s[k+1]-s[k]=0 =>
p+q/s[k]-s[k]=0 => s=p+q/s

Der Attraktor hat die
Loesungen:
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s=1/2*p+-1/2*Wurzel(p^2-4q)
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Zusammenfassung:
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Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte der Iteration :
1) f[k+1]=p*f[k]+q*f[k-1] wird bestimmt durch die Iteration :
2) s[k+1]=p+q/s[k]
deren Grenzwert folgende Gleichung erfuellt :
s=p+q/s
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ANWENDUNG DER FRAC METHODE :
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Fuer welchen Fall sind die Loesungen von s=p+q/s ganzzahlig ?

Mittels frac Methode:
q sei ganzzahlig. Dann muss dann gelten:
frac(s)=frac(q/s)=0
Dies ist erfuellt wenn frac(q/s) ganzzahlig ist : frac(q/s)=frac(n) somit q=n*s
frac(p+q/s)=0 => frac(q/s) = 0
q muss ein Vielfaches der Loesung s=a sein
q=n*s, n element N
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Einfacherer Weg :
s=q/n. In Ausgangsgleichung s=p+q/s ...
q=n*(n+p)
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Fuer Kettenwurzeln :
a) s=1/2*p +- 1/2*Wurzel(p^2+4*s*n)
Die Loesung von a) lautet:
s=n+p Mit q=n*s erhalte ich :
q=n*(n+p)
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Die Loesung fuer s =p+n*(n+p)/s lautet dann s1=-n, s2=n+p
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Die Loesungen der Gleichung : s=p+n*(p+n)/s sind ganzzahlig
s1=p+n, s2=-n
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BTW: q=n*[p+n] stellt fuer p=1 das Doppelte der Dreieckszahlen dar.

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Beispiel
Die Loesungen von
s=1+2/s sind ganzzahlig
s=1+3/s sind nicht ganzzahlig
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Zurueck zur modifizierten Fib Reihe :
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Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Werte der Iteration :
1) f[k+1]=p*f[k]+n*(n+p)*f[k-1]
strebt gegen ganzzahlige Werte:
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