Periodendauer p:
Addiere ich p zum Argument einer Funktion wiederholt sich die Funktion: f(k)=f(k+p)
Anmerkung: Periodendauer und Grundfrequenz einer Funktion muesen nicht identisch sein.
Siehe Residualhoeren.

Hilfsfragen:
Welche Periodendauer hat die Funktion frac(a/b*k) a,b,k element N, a,b teilerfremd ?
Welche Periodendauer hat die Funktion frac(b/a*k) a,b,k element N, a,b teilerfremd ?
Unter welchen Bedingungen fuer a,b kann die Funktion frac(a/b*k) zwei Periodendauern a und b aufweisen ?

Statt a/b betrachte ich die Testfunktion
f(k)=frac(a/b*k). k element N. a,b element N, teilerfremd

a) Periodendauer der Testfunktion :
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f(k)=frac(a/b*k) hat die Peridendauer b, denn frac(a/b*(k+b))= frac(a/b*k+a)=frac(a/b*k)
Die Periodendauer von f(k) ist also durch den Nenner des Bruches gegeben.
:
b1) Anwendung
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Phi=(wurzel(5)-1)/2, erfuellt x+1=1/x, also frac(x)=frac(1/x)
Aus f(k)=frac(Phi*k)=frac(1/Phi*k) folgt, dass fuer Phi keine Bruchdarstellung a/b, (a,b<>1) existiert.
Denn fuer Phi=a/b besaesse f(k) zwei teilerfremde Periodendauern a und b ( frac(a/b) waere frac(b/a) )

b2) Anwendung
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x=wurzel(2)+1, erfuellt x=2+1/x, also ebenfalls frac(x)=frac(1/x)
Aus f(k)=frac(x*k)=frac(1/x*k) folgt, dass fuer x keine Bruchdarstellung a/b, (a,b<>1) existiert.
Denn fuer x=a/b besaesse f(k) zwei teilerfremde Periodendauern a und b
Damit ist Wurzel(2)+1 irrational und damit auch Wurzel(2)

b3) Anwendung
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Allgemein:
a) s=m+1/s erfuellt frac(s)=frac(1/s). Damit muss s irrational sein.
Gl a) hat die Loesungen: s1=1/2*m+1/2*(m^2+4)^(1/2), s2=1/2*m-1/2*(m^2+4)^(1/2)
Damit kann m^2+4 , m<>0 keine Quadratzahl sein
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b4) Anwendung
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Gegeben ist die Folge g(k+2)=2*g(k+1)+g(k), g0=g1=1
limit k->infinity g(k+1)/g(k) konvergiert gegen Wurzel(2)+1
limit k->infinity (g(k+1)-g(k))/g(k) konvergiert gegen Wurzel(2)