PRIMFAKTOREN DER FIBONACCI ZAHLEN
UND
ZIPFSCHE VERTEILUNG

Anhand eines numerischen Experiments zeigt sich, dass die Primfaktoren der Fibonacci Zahlen annaehernd eine Zipfsche Verteilung aufweisen. Das heisst, sie weisen eine Haeufigkeitsverteilung auf wie die Woerter in einem Text.
Allgemein weisen Sprachen, zum Beispiel auch die musikalische Sprache, eine Haeufigkeitsverteilung ihrer Sprachbausteine
auf, die sich der Zipfschen Verteilung annaehert, je harmonischer die Sprache ist.
http://science.orf.at/science/news/116198
Der Versuch deutet darauf hin, dass die Fibonacci Zahlen einen semantischen Inhalt tragen.

Bestimmen der zipfschen Verteilung p(x_i)=c/ x_i:
Darin kann man c als einen Normierungsparameter betrachten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben. Verwendet man n diskrete Merkmale so ergibt sich c zu: c=summe( i=1..n, 1/ i )
Also aus einer harmonischen Reihe.

Deren Loesung ist etwa ln(n) + gamma.
Die Konstante (gamma) heißt Euler-Mascheroni-Konstante und beträgt ungefähr 0,5772156649.
http://harmonische_reihe.know-library.net/
Wobei exakt waere den ln(n) durch die Psi-Funktion zu ersetzen.
Psi(x) is the digamma function,
Psi(x) = diff( ln(GAMMA(x)), x ) = diff(GAMMA(x), x ) / GAMMA(x)
Man kann die Summe aber auch einfach numerisch berechnen !

ZIPF-PRIMZAHLVERSUCH
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Grundgedanke:
Das Zipfsche Gesetz hat seinen Ursprung in der Linguistik. Hier bilden Buchstaben zunaechst Woerter und Woerter Saetze.
Fuer beide Kombinationen gilt das zipfsche Gesetzt. Dieses Prinzip moechte ich jetzt auf Primfaktoren anwenden.
Speziell auf die Primfaktoren der Fibonaccizahlen.

Parallele zur Linguistik:
Primfactoren der Fibonacci Zahlen=Wort
Fibonaccizahlen=Textfragment

Programmbeschreibung:
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Das kleine Programm zerlegt zunaechst alle Fibonacci Zahlen 2..N in ihre Primfaktoren.
Dabei wird fuer 2..N aufsummiert wie oft die jeweilige Primzahl vorkam, inclusive Mehrfachheit.

Es wird die Zipf Verteilung mit der selben Anzahl Merkmale bestimmt
Die Primfaktorenhaeufigkeit wird normiert so dass das Integral 1 ergibt
Die Primfaktoren werden mittels Bubblesort nach ihrer Haeufigkeit sortiert
Quellcode in Maple als Textfile

Versuchsergebnis:

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Die Primfaktoren der Fibonacci Zahlen folgen sehr genau der Zipfschen Haufigkeitsverteilung
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Mai 2006